|
1.3.4. Связь между напряженностью и потенциалом
Итак, электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины E, либо с помощью скалярной величины φ. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее.
Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l (рис. 1.3.2) в электростатическом поле E.
Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке dl, можно найти так:
...
где El - проекция E на dl; dl - произвольное направление перемещения заряда.
С другой стороны, как мы показали, эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:
...
отсюда
...
Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве надо знать проекции E на оси координат:
...
По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, т.е.
...
grad φ - вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.
Тогда коротко связь между E и φ записывается так:
...
или так:
...
Знак минус говорит о том, что вектор E направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.
|
