Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.
Уравнение Шредингера в общем виде записывается так:
...
где m - масса частицы; i - мнимая единица; ∇2 ≡ ∆ - оператор Лапласа ...; U (x,y,z,t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется; Ψ - искомая волновая функция.
Если силовое поле, в котором движется частица, потенциально, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два сомножителя, один из которых зависит только от координаты, а другой - только от времени:
...
Здесь E - полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения (2.4.9), подставьте его в выражение (2.4.8) и вы получите уравнение Шредингера для стационарных состояний:
...
Уравнение Шредингера можно записать в виде ĤΨ = EΨ.
В этом уравнении Ĥ - оператор Гамильтона, равный сумме ... Гамильтониан является оператором энергии E.
В квантовой механике другим переменным (также и динамическим) сопоставляются операторы. Соответственно рассматривают операторы координат, импульса, момента импульса и т.д.
Реальный физический смысл имеют такие решения уравнения Шредингера, которые выражаются волновыми функциями Ψ, удовлетворяющими условиям конечности, однозначности и непрерывности.
|