В каждой среде кратчайшим путем будут прямые SA и АВ. Точку А охарактеризуем расстоянием x от перпендикуляра, опущенного из источника на границу раздела. Определим время, затраченное на прохождение пути SAB ...
Для нахождения минимума найдем первую производную от τ по х и приравняем ее к нулю ...
отсюда приходим к тому же выражению, что получено исходя из принципа Гюйгенса:
Принцип Ферма сохранил свое значение до наших дней и послужил основой для общей формулировки законов механики (в т.ч. теории относительности и квантовой механики).
Из принципа Ферма вытекает несколько следствий.
Обратимость световых лучей: если обратить луч III (рис. 1.1.4), заставив его падать на границу раздела под углом в, то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом а, т.е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.
Другой пример - мираж, который часто наблюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах (рис. 1.1.8). Они видят впереди оазис, но когда приходят туда, кругом оказывается песок. Сущность в том, что мы видим в этом случае свет, прошедший над песком. Воздух сильно раскален над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным и скорость света в нем больше, чем в холодном. Поэтому свет проходит не по прямой, а по траектории с наименьшим временем, заворачивая в теплые слои воздуха. На рис. 1.1.9 изображен так называемый «верхний мираж».
|